Стационарная теория возмущений в квантовой механике — теория возмущений, где гамильтониан не зависит от времени. Теория построена Шрёдингером в 1926 году.
Теория применима для достаточно слабых возмущений:
, при этом параметр
должен быть настолько маленьким, чтобы возмущение не слишком искажало невозмущённый спектр
.
В теории возмущений решение представляется в виде разложений
![{\displaystyle |n\rangle =|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a9a29105ded9bf80737c2bf26130fb8273e4bc)
![{\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\lambda E_{n}^{1}+\lambda ^{2}E_{n}^{2}+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d5a91fe9a30d46b7122543d141ff3553a59e17)
Конечно, должно быть верно уравнение Шрёдингера:
![{\displaystyle H|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24b6af7d823f1b166debd6c5bcd1d09d9b80e66)
Подставляя разложение в это уравнение, получим
![{\displaystyle (H_{0}+\lambda H_{1})(|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +\cdots )=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb3df4d0a78ff81fabf851b1945201f98dbfc78)
![{\displaystyle (E_{n}^{0}+\lambda E_{n}^{1}+\lambda ^{2}E_{n}^{2}+\cdots )(|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +\cdots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55f8d3621d9937cd3ef6c76cc8ffc59e46d9e7a)
Раскроем скобки и получим слева и справа следующие ряды:
то есть
Собирая слагаемые одинакового порядка по
, получим последовательности уравнений:
![{\displaystyle H_{0}|n^{0}\rangle =E_{n}^{0}|n^{0}\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8d5195926bea6088456fc3370d95c6a5ce020c)
![{\displaystyle H_{0}|n^{1}\rangle +H_{1}|n^{0}\rangle =E_{n}^{0}|n^{1}\rangle +E_{n}^{1}|n^{0}\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d5aef412849f163cca2dd89593cc3055784a40)
![{\displaystyle H_{0}|n^{2}\rangle +H_{1}|n^{1}\rangle =E_{n}^{0}|n^{2}\rangle +E_{n}^{1}|n^{1}\rangle +E_{n}^{2}|n^{0}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340e5058d6b27ff11cff942493c371ee3d898fe7)
и т. д. Эти уравнения должны решаться последовательно для получения
и
. Слагаемое с индексом
— это решение для невозмущённого уравнения Шрёдингера, поэтому говорят также о «приближении нулевого порядка». Аналогично говорят о «приближении
-го порядка», если рассчитывают решение до слагаемых
и
.
Из второго уравнения получаем, что можно определять однозначно решения для
только с дополнительными условиями, так как каждая линейная комбинация
и
является решением. Возникает вопрос о нормализации. Мы можем предположить, что
, но в то же время из нормировки точного решения следует
. Тогда в первом порядке (по параметру λ) для условия нормировки нужно положить
. Поскольку выбор фазы в квантовой механике произволен, можно без потери общности сказать, что число
действительно. Поэтому
, и, как следствие, налагаемое дополнительное условие примет вид:
![{\displaystyle \langle n^{0}|n^{1}\rangle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c91f1557e4387257cfdd235a4e79f17c91246e3)
Так как невозмущённое состояние
должно быть нормируемо, сразу следует
![{\displaystyle \lambda \langle n^{0}|n^{1}\rangle +\lambda ^{2}\langle n^{0}|n^{2}\rangle +\lambda ^{3}\langle n^{0}|n^{3}\rangle +\cdots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121ad892067158b8382ca641888d42dc632b2803)
и из этого
Получаем поправку в первом порядке
![{\displaystyle E_{n}^{1}=\langle n^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/036da12e2e9af9b59c0fe825b236bf208c9c6080)
![{\displaystyle |n^{1}\rangle =\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle }{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}}|m^{0}\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2a0f1fbc8b02ebce8c0ba4b773ed9a588c40100)
и для поправки энергии во втором порядке
![{\displaystyle E_{n}^{2}=\sum _{m\neq n}{\frac {|\langle m^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle |^{2}}{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d340d7ef1d65f35f201d09f175ddb381d8cda134)
Landau L. D., Lifschitz E. M. Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory. — 3rd. — ISBN 0-08-019012-X.